過去の問題と解答・解説

　第７問（９月２５日更新）

　先日、私は灘中予想問題２日目を作りました。その中の問題を大問１つずつ紹介しようと思います。なお、いずれこのＨＰにもまとめて載せる予定です。

　問題

　１～９９の９９個の整数を並べてできる整数を整数Ｐとする。例えば、3，87，61，11，93，5，20，………　と並べると、Ｐ＝387611193520………　となる。

（１）
整数Ｐは何桁の整数か。

（２）
整数Ｐの値として考えられるもののうち、最も小さい数の上７桁と下７桁を求めよ。

（３）
整数Ｐの値として考えられるもののうち、最も小さい数と、１０番目に小さい数の差を求めよ。

解答

（１）１８９桁　（２）上７桁…１０１１１１２　下７桁…９７９８９９９　（３）１８０９９９

解説

（１）２桁の整数が９０個、１桁の整数が９個で出来ているので、（２×９０＋９＝）１８９桁

（２）上から１桁目は０はないので１。２桁目は０。これは「１０」を使うしかない。次は０はないので１。同様にできるだけ１を続ければよい。これは、「１，１１，１●」とすることで４つ続けることができる。●は最も小さい２が入る。よって上７桁は「１０１１１１２」
下７桁は、出来るだけ大きな数を入れるのではなく、最後まで余った数を入れるということに注意しなければならない。最後は「９，９９」で９９９となる。その前は、「８９」でなく「９８」。「８９」は「８，８８」の直後にある。同様にその前は「９７」。よって下７桁は「９７９８９９９」

（３）(2)の下７桁を並べ替えて少しずつ大きくしていく。
①97,98,9,99
②97,9,98,99
③97,99,98,9
④97,9,99,98
⑤98,97,9,99
⑥98,9,97,99
⑦98,99,97,9
⑧98,9,99,97
⑨9,97,98,99
⑩9,97,99,98
よって差は　９９７９９９８－９７９８９９９＝１８０９９９

　第８問（１０月２４日更新）

　「先日、私は灘中予想問題２日目を作りました。その中の問題を大問１つずつ紹介しようと思います。なお、いずれこのＨＰにもまとめて載せる予定です。」　　の第２弾！！

　問題

　三角錐Ｏ－ＡＢＣがある。辺ＯＡ上に点Ｐを、辺ＯＢ上に点Ｑを、辺ＯＣ上に点Ｒを、それぞれＯＰ＝ＰＡ、ＯＱ：ＱＢ＝１：３、ＯＲ：ＲＣ＝１：７となるようにとる。さらに、点Ｐを通り面ＯＢＣと平行な面を面Ｘ、点Ｑを通り面ＯＣＡと平行な面を面Ｙ、点Ｒを通り面ＯＡＢと平行な面を面Ｚとする。この三角錐を３面Ｘ，Ｙ，Ｚで切断するとき、次の問いに答えよ。

（１）切断するといくつの立体に分かれるか。

（２）３面Ｘ，Ｙ，Ｚのすべての面上にある点（注）が１つだけある。この点を点Ｓとするとき、三角錐Ｓ－ＡＢＣの体積は三角錐Ｏ－ＡＢＣの体積の何倍か。

（３）切断してできる立体のうち、点Ｏを含む立体の体積は三角錐Ｏ－ＡＢＣの体積の何倍か。

（２－注）図を参照。３つの面が交わっている点です。なお、この点は三角錐Ｏ－ＡＢＣの内部にある。

解答

（１）８個　（２）１／８倍　（３）３／３２倍

解説

（１）図を見て数えればＯＫ！！ですが、意外と間違えが多かったです。また、（注）より点Ｓは三角錐の内部にあるので（(2)を解くとその理由もわかります）、一回切るごとに個数が２倍になり、２×２×２＝８（個）となります。

（２）三角錐ＳＡＢＣ＝三角錐ＯＡＢＣ－（三角錐ＳＯＡＢ＋三角錐ＳＯＢＣ＋三角錐ＳＯＣＡ）
また、三角錐ＳＯＡＢ＝1/8*三角錐ＯＡＢＣ，三角錐ＳＯＢＣ＝1/2*三角錐ＯＡＢＣ，三角錐ＳＯＣＡ＝1/4*三角錐ＯＡＢＣ
よって、三角錐ＳＡＢＣ＝（１－(1/8+1/2+1/4)）×三角錐ＯＡＢＣ　より、１／８倍

（３）三角錐をゴチャゴチャ足し引きしても答えはでますが、面倒だし、入試ではそんなに時間をさけません。
点Ｏを含む立体は直方体を点Ｏと点Ｓを持って引っ張ってできるような立体です。この体積は、直方体のときと同様に三角錐ＯＰＱＲの６倍になるのです。ということで、(1/2)*(1/4)*(1/8)*6＝３／３２（倍）

　第９問（１２月１９日更新）

　期末考査が終わって、面白い図形の問題を思いつきました。是非解いてみてください。

　（１）

　直径４ｃｍの円の円周に１２個の点をとって順に結ぶと、正十二角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬができた。このとき、四角形ＢＣＪＫの面積を求めよ。

　（２）

　上の図は、正五角形ＡＢＣＤＥと正五角形ＦＣＧＤＨが重なったものである。このとき四角形ＦＣＤＨの面積は六角形ＡＢＣＧＤＥの面積の何倍か。

　（３）

　上の図は、大きな正方形の中に８個の一辺の長さが等しい正方形が入っているものである。図中？の長さを求めよ。

解答

（１）３ｃｍ²　（２）１／４　（３）４

解説

（１）１×５－１－（３－２）＝３（ｃｍ²）
（２）

（３）

　第１０問（１月２１日更新）

　授業で習ったばかりの道順の問題を作ってみました。おまけの問題は、ちょっと面倒なのでもし解くなら時間があるときに解いてください。もちろん「１問だけ解く」とかも大歓迎！

　（１）

　上の図は、直角二等辺三角形を１４４個集めてできる図形です。左下の点Ａから、右上の点Ｂまで線上を通って行く最短経路は、もちろん１通り（全体の正方形の対角線を通る場合）しかありません。
　では、点Ａから点Ｂまで点Ｐを経由して行く最短経路は何通りあるでしょか。

　（２）

　上の図は、２０個の正方形と、正方形に内接する円を２０個書いたものである。左下の点Ａから、２点Ｐ,Ｑをこの順番で経由して、再び点Ａに戻ってくる最短経路は何通りあるでしょうか。

　（３）

　上の図を一筆書きする方法は何通りあるでしょうか。

　おまけの問題Ａ

　５桁の整数から、数字を１個取り除くことによって、５つの４桁の整数を作ることができます。例えば、もとの５桁の整数が「１２３４５」のときは、「１２３４」「１２３５」「１２４５」「１３４５」「２３４５」ができます。いま、５桁の整数Ａについてこの操作を行なったところ、できた５個の４桁の整数はすべて異なり、それらの和は２５３６９となりました。整数Ａの値を求めてください。

　おまけの問題Ｂ

　3334.56の,小数点の位置は変えずに,数字の順序を変えて小数点以下を四捨五入すると,異なる数字は何個できるでしょうか。（もし、順序を変えずに四捨五入すると3335になる。）

解答

（１）２０通り　（２）３６通り　（３）１２通り　（おＡ）３９７３９　（おＢ）９０個

解説

（１）結局、縦３マス横３マスの正方形の格子の角から角にいく道順となる。
（２）どのような場合が最短になるのか注意深く考えるとよい。Ａ→Ｐは３通り、Ｐ→Ｑは２通り、Ｑ→Ａは６通りあるので、３×２×６＝３６（通り）
（３）スタートは正方形の右下と左下の頂点のどちらかである。それぞれの頂点からスタートする方向は３通りずつあり、その各々についてその後の回り方が２通りあるので、２×３×２＝１２（通り）
（おＡ）「２５３６９÷４＝６３４２…１」より、十の位は３か７である。そのそれぞれについて「十の位→一の位→百の位→千の位→一万の位」の順で場合わけしながらさかのぼると、３９７３９と４６６７８の２つの答えがでる。ただし、４６６７８は「できた５個の４桁の整数はすべて異なる」という条件に反してるのでダメ。（この問題はプログラムを用いると簡単ですね……十の位を絞ったほかはプログラムと同じことをしているわけですから。）
（おＢ）整数部分に含まれる「３」の個数で場合わけ。１８＋４８＋２４＝９０（通り）

　第１１問（１月２９日更新）

　今回は１問だけですが、少し難しいかもしれません。自作の問題です。

　上の図のように、△ＡＢＣの辺ＡＣ上に∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣとなるように点Ｄをとり、直線ＢＤ上に点Ｅを∠ＢＥＣが∠ＢＡＣの２倍の大きさになるようにとったところ、ＢＥ＝3cm，ＣＥ＝8cmとなった。
　辺ＡＣの長さを求めよ。

解答

１１ｃｍ

解説

三角形ＥＢＣを辺ＢＣで折り返して三角形ＦＢＣをつくり、辺ＡＣ上にＦＢ＝ＣＧとなるように点Ｇをとると、四角形ＢＦＣＧは平行四辺形になりＣＧ＝ＢＦ＝ＢＥ＝3cm、三角形ＡＢＧは二等辺三角形となりＡＧ＝ＢＧ＝ＦＣ＝ＥＣ＝8cmとなり、ＡＣ＝ＣＧ＋ＡＧ＝11cm

こんな解き方もあるようです。
ＤＢをＤ側に延長し、ＡＤ＝ＤＦである点Ｆをとると△ＥＦＣは、ＥＦ＝ＥＣである二等辺三角形となりＡＣ＝ＦＢ＝３＋８＝１１(cm)

　第１２問（２月２２日更新）

　第１２問なので、１辺１２ｃｍの正方形に関する問題を作りました。前回の問題と似ていますが、気にしないでください。難易度は前回より少し難しめのつもりです。なお、今回は期末前なので解答を下さっても返事はできません。すみません。

　上の図のように、一辺１２ｃｍの正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に点ＰをＢＰ＝８ｃｍ，ＰＣ＝４ｃｍとなるようにとり、辺ＣＤ上に点Ｑを角ＢＡＰと角ＰＡＱの大きさが等しくなるようにとった。これについて次の問に答えよ。

（１）直線ＡＱの長さは直線ＣＱの長さよりどれだけ長いか。
（２）直線ＡＱの長さは直線ＤＱの長さよりどれだけ長いか。
（３）ＣＱ：ＱＤを求めよ。

（注）この問題における「直線」とは、数学的には「線分」のことです。

解答

（１）６ｃｍ　（２）８ｃｍ　（３）７：５

解説

(1)と(2)は、それぞれ単独で雰囲気を変えて出題されることが多いのですが、それを組み合わせて何か求めることは出来ないだろうか？と考えて作ったのがこの問題です。ただし、ＣＱ：ＱＤはこの方法を使わなくても求まるようなので、イマイチな問題になってしまいました。すみません。さて、想定していた解き方を説明しておきます。
（１）ＡＰを延長してＤＣの延長との交点を点Ｒとすると、三角形ＡＱＲはＡＱ＝ＱＲの二等辺三角形となる。よって、ＡＱ＝ＣＱ＋ＣＲ＝ＣＱ＋６cm。ゆえに、６ｃｍ。
（２）三角形ＡＢＰを点Ａを中心に反時計回りに９０度回転させて、三角形ＡＤＳとすると、三角形ＡＱＳはＡＱ＝ＱＳの二等辺三角形となる。よって、ＡＱ＝ＤＱ＋ＤＳ＝ＤＱ＋８cm。ゆえに、８ｃｍ。
（３）(1)(2)より、ＣＱ＝ＤＱ＋２cm。また、ＣＱ＋ＤＱ＝１２ｃｍ。よって、ＣＱ＝７ｃｍ，ＤＱ＝５ｃｍ。ゆえに、ＣＱ：ＱＤ＝７：５。
ちなみに、△ＡＤＱでＡＤ＝１２ｃｍ，ＤＱ＝５ｃｍ，ＡＱ＝１３ｃｍとなっていて三平方の定理（＝勾股弦こうこげんの定理＝ピタゴラスの定理）が成り立っていますね。さらに、ＢＰ＝ＰＣとすると、△ＡＤＱは３：４：５の直角三角なります。興味深いですね。

　第１３問（３月１５日更新）

　このページが春モードに模様替えしたことにお気づきになりましたでしょうか？
　今回は、エクセルで書いて画像として出題してみました。画像が見れない方はごめんなさい。
　問１は分かれば簡単ですが、おもしろい問題。問２は気づけば解ける問題。どちらも是非解いてみてください。

解答

問１:１２人／問２:９８通り

解説

（問１）１３人の子ども達の言っていることは、同時に２つ以上起こりえないから、正しいことを言っている人は０人か１人。０人の時は、１３番の人が正しいことを言っていることになり矛盾するので、１人だけが正しいことを言っていて、他の１２人はウソを言っているとわかる。正解率は９１％で、予想以上に皆様正解されていました。

（問２）フィボナッチ数列だと思い、３４通りや５５通りとお答えになった方が多かったです。正解率は３６％と、やや難しめでした。この問題は私が自分で思いついた問題なのですが、まず私もフィボナッチになると思いました。でも、６人の場合を全通り書いてみると、６通りになって、早くもフィボナッチが崩れてしまうのです。
トーナメントの図を書くと、最終試合のところで、右半分と左半分に分かれます。その人数の分かれ方で場合わけして、人数を少しずつ増やしていけば解けます。
まず、６人の場合。１人＋５人のとき、１人の方法は１通り、５人の方法は問題に示されているように３通りであるから、１×３＝３通り。２人＋４人のとき、２人の方法は１通り、４人の方法は２通りであるから、１×２＝２通り。３人＋３人のとき、どちらも１通りであるから、１通り。よって３＋２＋１＝６通り。
７人の場合。１×６＋１×３＋１×２＝１１通り
８人の場合。４人＋４人のとき、どちらも２通りですが、２×２＝４通りとすると、右側と左側を入れ替えただけの場合を重複して数えてしまいます。４通りのうち、２通りは右側と左側が同じ形の場合です。残りの２通りは、右側と左側が異なる場合であり、２回ずつ数えてしまっています。よって、２＋(２×２－２)÷２＝３通り。したがって、１×１１＋１×６＋１×３＋３＝２３通り。
９人の場合。１×２３＋１×１１＋１×６＋２×３＝４６通り
10人の場合。１×４６＋１×２３＋１×１１＋２×６＋{３＋(３×３－３)÷２}＝９８通り
よって、答えは９８通りです。

以上のことを総合すると、次のことが言えます。

＊―――――――――――――――――――――――――――――――――――＊
｜n人のときの試合形式の数をa[n]とすると、　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜（ア）n=2m+1 のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　a[n]=a[1]*a[n-1]+a[2]*a[n-2]+……+a[m]*a[m+1]　　　　　　　　　　　 ｜
｜（イ）n=2m のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　a[n]=a[1]*a[n-1]+a[2]*a[n-2]+……+a[m-1]*a[m+1]+{(a[m]+a[m]^2)/2}　 ｜
＊―――――――――――――――――――――――――――――――――――＊

確かに結構難問です。

正解者一覧

順位　₍₁₎	お名前　₍₂₎	回答日時
１	ダンディ海野_さん	2008年3月16日 (日) 午前11時51分49秒
２	MP5K_さん	2008年3月16日 (日) 午前12時18分46秒
３	スモークマン_さん	2008年3月18日 (火) 午後2時24分30秒
４	ぽつ_さん	2008年3月18日 (火) 午後7時47分8秒
５	weapon_さん	2008年3月18日 (火) 午後11時41分9秒
６	τ_さん	2008年3月20日 (木) 午前0時36分54秒
７	nakakun_さん	2008年3月20日 (木) 午後7時33分59秒
８	p_さん	2008年3月23日 (日) 午前10時36分23秒
９	N_さん	2008年3月29日 (土) 午後8時13分49秒
１０	atsuka_さん	2008年4月3日 (木) 午前0時38分13秒

今回は、(1)、(2)のどちらか１問正解すれば正解者一覧に載ります。

順位が太字の方は(1)を正解され方、お名前が太字の方は(2)を正解された方です。

　第１４問（４月４日更新）

　今回も場合の数の問題になってしまいました。２回連続ですみません。自作です。

解答

４４３通り

解説

図３の状態では、以下の３通りがある。

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

2	2	2	2
2	2	2	2
2	2	2	2

3	1	2	3
	2
		1

上２つの場合はそれぞれ１通りずつ。
下の場合は、「３マスで和３」が７通り、「２マスで和２」が３通りであるから、７×７×３×３＝４４１通り。
よって、１＋１＋４４１＝４４３通り

正解者一覧

**第１４問正解者**
順位	お名前	回答日時
１	Ｍｒ．ダンディ_さん	2008年4月5日 (土) 午前0時0分26秒
２	weapon_さん	2008年4月5日 (土) 午後2時12分43秒
３	NN_さん	2008年4月5日 (土) 午後2時44分2秒
４	nakakun_さん	2008年4月18日 (金) 午後6時58分1秒

　第１５問（４月１８日更新）

　図形の問題です。難しくしたつもりです。自作です。

　上の図のように、三角形ＡＢＣ＝35cm²である四角形ＡＢＣＤの辺ＡＤ，ＢＣの真ん中の点をそれぞれ点Ｍ，Ｎとすると、四角形ＡＢＮＭ＝30cm²、四角形ＣＤＭＮ＝40cm²となった。
　ＡＣとＢＤ，ＢＤとＭＮ，ＭＮとＡＣの交点をそれぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒとする。
　三角形ＰＱＲの面積を求めよ。

解答

10/7cm²

解説

ＡＣの中点を点Ｓとすると五角形ＭＳＮＣＤ＝35cm²
□ＭＰＮＳは平行四辺形より、△ＮＳＲ＝△ＭＰＲ＝5/2cm²
よって、AP:PR:RS:SC=3:2:2:7
ＡＣとＭＴが平行になるように、ＤＱ上に点Ｔをとると、AP:MT=2:1
よって、MT:PR=MQ:QR=3:4
ゆえに、(5/2)×(4/7)=10/7cm²

正解者一覧

**第１５問正解者**
順位	お名前	回答日時
１	kasama_さん	2008年4月19日 (土) 午前2時19分40秒
２	uchinyan_さん	2008年4月19日 (土) 午後11時50分33秒
３	nakakun_さん	2008年4月20日 (日) 午前2時58分34秒
４	すぐる学習会_さん	2008年4月20日 (日) 午前7時40分33秒
５	kata_さん	2008年4月20日 (日) 午後7時22分28秒
６	NN_さん	2008年4月22日 (火) 午後7時24分48秒
７	ひぐりん_さん	2008年4月23日 (水) 午後3時11分54秒
８	水田X_さん	2008年4月24日 (木) 午前9時6分0秒
９	Ｍｒ．ダンディ_さん	2008年4月25日 (金) 午後6時35分1秒
１０	牡蠣_さん	2008年4月25日 (金) 午後7時18分28秒

第１６問からは、こちら